Medias: armónica, geométrica, cuadrática y cúbica

A continuación se presenta un resumen de las principales medias estadísticas más allá de la aritmética: definición, fórmula, uso y un ejemplo sencillo de aplicación.

1. Media Armónica

Definición: Es el recíproco del promedio de los recíprocos de los datos.
Fórmula:
\[ H = \frac{n}{\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{x_i}} \]
Uso: Se aplica cuando se promedian tasas o velocidades.
Ejemplo: Un vehículo recorre una distancia a 60 km/h y la misma distancia de regreso a 40 km/h. La velocidad promedio real es 48 km/h (media armónica), no 50 km/h (media aritmética).

2. Media Geométrica

Definición: Es la raíz n-ésima del producto de los datos positivos.
Fórmula:
\[ G = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdot \ldots \cdot x_n} \]
Uso: Muy utilizada en crecimientos porcentuales, economía, finanzas y biología.
Ejemplo: Una empresa crece 10% el primer año y 20% el segundo. La media geométrica da la tasa de crecimiento promedio real en ese periodo.

3. Media Cuadrática (RMS)

Definición: Es la raíz cuadrada del promedio de los cuadrados de los datos.
Fórmula:
\[ Q = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i^2} \]
Uso: Común en física e ingeniería, especialmente en magnitudes que cambian de signo (como voltajes alternos).
Ejemplo: El voltaje eficaz de una corriente alterna se calcula mediante la media cuadrática.

4. Media Cúbica

Definición: Es la raíz cúbica del promedio de los cubos de los datos.
Fórmula:
\[ C = \sqrt[3]{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i^3} \]
Uso: Se aplica en casos de ingeniería, mecánica y naval relacionados con volúmenes o magnitudes que dependen de la tercera potencia.
Ejemplo: Se utiliza en cálculos de desplazamientos de barcos o estimaciones volumétricas.

Jerarquía de las medias

Para datos positivos, se cumple la siguiente relación:

\[ H \;\; \leq \;\; G \;\; \leq \;\; A \;\; \leq \;\; Q \;\; \leq \;\; C \]

Esto significa que la media armónica suele ser la más baja y la media cúbica la más alta dentro de un mismo conjunto de valores positivos.