La media aritmética es una medida de tendencia central utilizada para representar el valor promedio de un conjunto de datos. Se calcula con la fórmula:
$$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$$
donde \( \sum_{i=1}^{n} x_i \) representa la suma de todos los valores y \( n \) es el número total de datos.
Propiedades de la Media
- Todos los datos influyen: si se modifica un valor, la media también cambia.
- Suma de desviaciones nula: la suma de las desviaciones respecto a la media siempre es cero.
$$\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x}) = 0$$ - Unicidad: para un conjunto de datos solo existe una media.
- Posición: la media siempre se encuentra entre el valor mínimo y el valor máximo de los datos.
- Traslación: si a cada dato se le suma una constante \(k\), la media también aumenta en \(k\).
$$\bar{x}_{\text{nueva}} = \bar{x} + k$$ - Escalamiento: si cada dato se multiplica por una constante \(k\), la media también se multiplica por \(k\).
$$\bar{x}_{\text{nueva}} = k \cdot \bar{x}$$
Ventajas de la Media
- Es sencilla de calcular y comprender.
- Utiliza todos los datos del conjunto.
- Es estable al tomar diferentes muestras.
- Se emplea en cálculos estadísticos avanzados como varianza y desviación estándar.
Desventajas de la Media
- Es sensible a valores extremos o atípicos.
- No siempre representa bien distribuciones asimétricas.
- No necesariamente coincide con un valor real del conjunto.
- No puede aplicarse a variables cualitativas.
Ejemplo
Para el conjunto de datos {2, 3, 3, 4, 100}, la media se calcula como:
$$\bar{x} = \frac{2 + 3 + 3 + 4 + 100}{5} = 22.4$$
El resultado queda distorsionado debido al valor extremo 100, mostrando una limitación de la media.
